Формула вирішення квадратних рівнянь і приклади її використання

Після вивчення рівнянь першого порядку в школах проходять тему квадратних рівності. Існує кілька методів їх вирішення, проте застосування формули з дискримінантом є найпоширенішим і універсальним. Розглянемо в статті цю формулу вирішення рівнянь квадратних.

Які рівняння називаються квадратними?

Нижче наведено малюнок, на якому зображено рівність, що складається з трьох доданків. Мінлива x є невідомою. Оскільки перший член містить її в другому ступені, то даний вираз отримало назву квадратного. Латинськими літерами A, B і C в ньому позначені числові коефіцієнти.

загальний вигляд квадратного рівняння

Це рівняння називають повним, оскільки в ньому присутні всі складові, що містять змінну під 2-й, 1-й і 0-й ступенях (член C, званий вільним, можна представити у вигляді C * x0).

Якщо один з коефіцієнтів B або C буде нульовим, тоді рівняння стане неповним. Зауважимо, що рівність нуля числа A автоматично перетворює розглядається вираз в лінійне рівняння.

Як для повних, так і для неповних рівності другого порядку можна використовувати формулу розв’язання рівняння квадратного через дискримінант.

Універсальна формула

Як було згадано вище, через дискримінант формула рішення рівняння квадратного може використовуватися для знаходження коренів рівності другого порядку абсолютно будь-якого типу. Ця формула зображена на малюнку нижче.

формула вирішення квадратного рівняння

З неї видно, що рівняння максимум може мати два рішення (знак ±), однак якщо подкоренное вираз в знаменнику дорівнюватиме нулю, тоді невідомий X, що задовольняє рівності, буде представлений єдиним дійсним числом. Формула вирішення рівняння квадратного демонструє також, що її використання можливо в разі знання всіх трьох (або менше для неповного рівняння) його коефіцієнтів.

Розглянуту формулу можна отримати самостійно, для цього досить вирішити рівняння в загальному вигляді за допомогою методу доповнення до повного квадрата.

Відзначимо, що цю формулу для визначення коренів неповних рівнянь немає необхідності використовувати, оскільки існують більш прості методи вирішення (факторизація за допомогою винесення за дужки ікси або простий перенесення вільного члена в праву частину рівності і взяття кореня з нього).

Поняття дискримінанту і його значення

Якщо подивитися ще раз на формулу розв’язання рівняння квадратного через дискримінант, то останнім буде називатися різниця, укладена під знак кореня в знаменнику, тобто B2 - 4 * a * c.

два кореня якщо d> 0

Яку роль він відіграє? Не знаючи про зрівняння абсолютно нічого, а маючи тільки його дискримінант, можна з упевненістю сказати, скільки рішень воно має, і якого вони типу. Так, позитивному значенню дискримінанту відповідає 2 дійсних рішення, негативне його значення говорить також про 2-х рішеннях, але вони вже будуть комплексними числами. Нарешті, якщо дискримінант дорівнює нулю, що виконується, коли B * b = 4 * a * c, то рівняння буде мати лише одним дійсним коренем X.

Приклади розв'язання рівностей другого порядку

Використовуючи формулу коренів квадратного рівняння, рішення рівнянь квадратних наведемо в задачах різного характеру.

вирішення задач

Завдання № 1. Твір деяких 2-х чисел дорівнює -84, а їх сума становить 5. Потрібно визначити ці числа.

Складаємо систему рівнянь згідно заданій умові, одержуємо:

X1 * x2 = -84

X1 + x2 = 5

Висловлюємо з другого рівняння x1, підставляємо його в перший:

(5 - x2) * x2 = -84 = - (x2) 2 + 5 * x2

Тепер слід перенести члени з іксом і іксом в квадраті в ліву частину і обчислити дискримінант:

(X2) 2 - 5 * x2 - 84 = 0; D = 25 - 4 * 1 * (-84) = 361

Скориставшись універсальною формулою, отримуємо значення коренів рівняння:

X2 = (5 ± 19) / 2 => x2 = (12; -7)

Щоб отримати X1, можна скористатися будь-яким з рівнянь системи. Підставляючи відомі значення X2, ми отримаємо аналогічні числа для X1.Цей факт означає, що умовою задачі задовольняє лише одна пара чисел, то є -7 і 12.

Завдання № 2. Тепер вирішимо кілька незвичайне завдання. Нижче дано рівняння:

X2 - k * x + 36 = 0

Необхідно знайти всі значення K, які приводили б до єдиного рішення рівності.

Щоб зрозуміти, як відповісти на поставлене запитання, слід згадати, що рівняння розглянутого типу має 1 корінь тільки в тому випадку, якщо його дискримінант нульовий. Тобто нам потрібно знайти цей дискриминант, звідки можна отримати число K. Маємо:

D = k2 - 4 * 1. * 36 = 0

Отримане рівність називається чистим рівнянням другого порядку (в ньому немає коефіцієнта B). Вирішуємо його:

K = ± √144 = ± 12

Таким чином, якщо число K набуде значення +12 або -12, то корінь рівняння буде один.



ЩЕ ПОЧИТАТИ