Дискримінант: приклади розв'язання рівнянь

Існують кілька способів вирішення рівнянь квадратних, проте використання формули, яка зв’язує коефіцієнти рівності названого типу, є універсальним. Цей спосіб часто називають методом “через дискримінант”. Приклади розв’язання рівнянь квадратних за допомогою нього наводяться в даній статті. Про них повинен знати кожен старшокласник.

Квадратні рівняння

Приклади з дискримінантом відносяться до вирішення рівнянь квадратних. Такі рівняння мають вигляд, представлений на фото нижче.

загальний вигляд квадратного рівняння

Тут a, b і c - це деякі коефіцієнти (числа), які називаються квадратичним, лінійним і вільним членом, відповідно. Якщо відомі значення ікси такі, при яких рівність на фото є істиною, тоді говорять про те, що вони є коренями цього рівняння.

Як можна помітити, це рівняння називається квадратним, тому що “2” є максимальним ступенем, в яку зводиться x. Якщо a = 0, тоді рівняння перетворюється в лінійне.

Оскільки максимальний ступінь рівняння дорівнює двом, то існувати можуть тільки 0, 1 або 2 його кореня, які прийматимуть дійсні числові значення.

Щоб вирішити назване рівняння, можна скористатися кількома методами. Проте, найпростішим і надійним з них є застосування формули з дискримінантом.

Якою формулою потрібно користуватися?

Формула методу рішення рівнянь квадратних через дискримінант записується так, як представлено на малюнку нижче.

формула для квадратного рівняння

Можна бачити, що для її використання необхідно знання всіх трьох коефіцієнтів рівняння, а знак “±”, що стоїть перед коренем, говорить про те, що формула дозволяє знаходити одночасно два різних кореня.

Подкоренное вираз називається дискримінантом. Він зазвичай позначається латинською буквою D або грецької Δ. Чому виділяють саме цю частину в представленій формулі? Справа в тому, що від знака D залежить, скільки коренів матиме відповідне рівняння, і якими будуть вони.

Так, якщо D позитивний, то вираз призводить до двох різних рішень рівняння квадратного, якщо ж D негативний, тоді немає дійсних чисел, які б задовольняли вихідного рівності. У цьому випадку говорять про уявні корені, виражених у вигляді комплексних чисел. Нарешті, якщо D = 0, то формула призводить до існування одного єдиного кореня.

дискримінант і коріння рівняння

Важливі властивості коренів в методі "через дискримінант"

Перш ніж перейти до розгляду конкретних прикладів рівнянь з дискримінантом, необхідно привести два важливих властивості коренів, отриманих методом вирішення з використанням даної формули.

Перше властивість полягає в тому, що їх сума (x1 + x2) дорівнює відношенню лінійного коефіцієнта (b) до першого або квадратичним коефіцієнтом (a), взяте з протилежним знаком, тобто - b / a.

Друге властивість полягає в тому, що твір x1 * x2 завжди дорівнює відношенню вільного члена © до першого коефіцієнту (a), тобто c / a.

Наведені рівності, які пов’язують коріння рівняння з його коефіцієнтами, складають суть так званої теореми Вієта.

Відзначимо, що ці формули справедливі для будь-якого рівняння квадратного (в тому числі і неповного, тобто у якого b або / і c дорівнює нулю).

Далі в статті розглянемо використання формули з дискримінантом рівняння квадратного в прикладах, які будуть сформульовані у вигляді задач, що мають практичне значення.

Завдання № 1. Твір і сума чисел

Першим прикладом рівняння з дискримінантом буде наступний: необхідно назвати два числа, сума яких дорівнює 34, а твір 273.

Згідно з умовою задачі, складемо систему рівнянь, позначивши невідомих два числа, як x1 і x2. отримуємо:

X1 + x2 = 34

X1 * x2 = 273.

Висловивши x2 через x1 в першому рівнянні, і підставивши його в друге, маємо: (34 - x1) * x1 = 273. Розкриваючи дужки, отримаємо: (x1) 2 - 34 * x1 + 273 = 0. Тобто умова завдання звелося до рішенням рівняння квадратного.

Вирішуємо цей приклад формулою з дискримінантом: D = (-34) 2 - 4 * 1 * 273 = 64. Вийшло зручне для обчислення кореня квадратного число. Рішення цього рівняння будуть мати вигляд: x1 = (34 ± √64) / 2 = (21; 13). Кожне з отриманих чисел x1 підставимо в перше рівняння наведеної вище системи, отримуємо: x2 = (34 - 21 = 13; 34 - 13 = 21).

Таким чином, всього одна пара чисел (13 і 21) задовольняє умові завдання. Оскільки суму ми вже перевірили, то перевіримо тепер твір: 13 * 21 = 273.

Завдання №2. Складання і рішення рівняння по заданій умові

У наведеному далі прикладі формула з дискримінантом також буде потрібно для його вирішення. Отже, умова формулюється так: знайти число, подвійний квадрат якого перевершує його на 45. Записуємо мовою математики ця умова: 2 * x2 - x = 45. Тобто знову завдання зводиться до знаходження невідомого x в квадратному рівнянні.

Перенесемо всі члени в ліву частину рівності і обчислимо дискриминант: D = 1 - 4 * 2 * (-45) = 361. Корінь цього числа дорівнює 19. Тому рішеннями рівняння будуть числа: x = (1 ± 19) / (2 * 2 ) = (5; -4,5).

Перевіримо цей результат: 2 * 52 = 50, що дійсно перевершує число 5 на 45; 2 * (-4,5) 2 = 40,5, це число також задовольняє умові (40,5 - (-4,5) = 45).

Завдання №3. Визначення сторін прямокутного трикутника

прямокутник і його боку

Ще одним прикладом з дискримінантом квадратного рівняння є наступна задача: відомо, що різниця між двома сторонами прямокутника дорівнює 70 см. Необхідно знайти його боку, якщо діагональ фігури дорівнює 130 см.

Умова завдання дозволяє скласти систему з двох рівнянь:

X1 - x2 = 70

(X1) 2 + (x2) 2 = 1302.

Тут x1 і x2 - невідомі сторони прямокутника. Пояснимо, звідки взялося друге рівняння. Оскільки діагональ прямокутника утворює з двома його сторонами трикутник з кутом 90o, то сторони його, які дорівнюють x1 і x2, є катетами, тому можна скористатися їх зв’язком з діагоналлю - гіпотенузой (теорема Піфагора).

Висловивши з першого рівняння x2, підставивши його значення в друге рівняння, і розкривши в ньому дужки, отримуємо: 2 * (x1) 2 - 140 * x1 - 12 000 = 0. Вирішуємо це класичне рівняння квадратне: D = (140) 2 - 4 * 2 * (-12 000) = 115600. Використання калькулятора дозволяє розрахувати корінь з цього числа, він дорівнює 340. Коріння цього рівняння рівні: x1 = (140 ± 340) / 4 = (120; -50). Негативне число слід відразу відкинути, оскільки сторона прямокутника - позитивна величина.

Підставляючи x1 = 120 см в перше рівняння системи, отримуємо, що x2 = 50 см.

Таким чином, невідомі сторони прямокутника рівні 120 см і 50 см.

Завдання №4. два мотоцикліста

зустріч двох мотоциклістів

Наступний приклад рівняння через дискримінант пов’язаний з вирішенням завдання про двох мотоциклістів. Відомо, що кожен з них виїхав назустріч іншому. Початкове відстань між ними було одно 130 км, швидкість одного становила 30 км / год, а інший їхав зі швидкістю на 33 км / ч більше, ніж число годин, через які вони зустрілися. Необхідно знайти, через який час зустрінуться мотоциклісти.

Позначимо невідоме час буквою t. З умови задачі випливає, що швидкість другого мотоцикліста дорівнювала 33 + t. До зустрічі кожен мотоцикліст проїхав відстань 30 * t і (33 + t) * t. Очевидно, що в момент зустрічі обидва транспортні засоби подолали сумарне відстань 130 км (див. Умову задачі). Тоді отримуємо рівняння: 30 * t + (33 + t) * t = 130. Розкриваючи дужки, отримуємо такий вигляд: t2 + 63 * t - 130 = 0. Рахуємо в цьому прикладі дискриминант: D = (63) 2 -4 * 1 * (-130) = 4489. Корінь з нього буде дорівнює 67. Значення t, що задовольняють рівняння, будуть рівні: t = (-63 ± 67) / 2 = (2; -65). Оскільки час не може бути негативним, отримуємо відповідь на завдання: мотоциклісти зустрінуться через 2 години.

Завдання №5. Оренда човна групою молодих людей

молодь і оренда човна

Завершити цю статтю хотілося б прикладом і рішенням через дискримінант однією цікавою завдання: кілька молодих людей вирішили орендувати човен за 14 000 рублів. Вони цю суму поділили на всіх. Однак в останній момент троє людей відмовилися плисти на човні, тому кожен з решти змушений був доплатити ще 1500 рублів. Скільки людей хотіли орендувати човен спочатку?

Нехай спочатку було x молодих людей. Тоді кожен з них повинен був заплатити суму 14000 / x рублів. Як тільки троє людей відмовилися плисти, остання сума для кожної з решти стала дорівнює 14000 / (x-3). Оскільки остання сума зросла в порівнянні з початковою на одну людину на 1500 рублів, то можна скласти таке рівняння: 14000 / (x-3) - 14000 / x = 1500.

Наведемо це рівняння до квадратного. Маємо: 14000 * x - 14000 * x + 14000 * 3 = 1500 * x * (x-3). Розкриваючи дужки і, спрощуючи вираз, отримаємо: 1500 * x2 - 4500 * x - 42 000 = 0. Розділивши обидві частини рівності на 1500, одержимо вираз: x2 - 3 * x - 28 = 0. Вирішуємо цей приклад дискримінантом: D = 9 - 4 * 1 * (-28) = 121. Тоді x = (3 ± 11) / 2 = (7; -4).

Таким чином, спочатку група молодих людей складалася з 7 чоловік.



ЩЕ ПОЧИТАТИ