Призма і її елементи. Властивості правильної чотирикутної призми

Призма є досить простої геометричної об’ємної фігурою. Проте у деяких школярів при визначенні її основних властивостей виникають проблеми, причина яких, як правило, пов’язана з неправильно використовуваної термінологією. У цій статті розглянемо, які призми бувають, як вони називаються, а також детально охарактеризуємо правильну чотирикутну призму.

Призма в геометрії

Вивчення об’ємних фігур є завданням стереометрії - важливої ​​частини просторової геометрії. У стереометрії під призмою розуміють таку фігуру, яка утворена паралельним переносом довільного плоского багатокутника на певну відстань в просторі. Паралельний перенос передбачає таке переміщення, при якому поворот навколо осі, перпендикулярної площині багатокутника, повністю виключений.

В результаті описаного способу отримання призми утворюється фігура, обмежена двома багатокутниками, що мають однакові розміри, що лежать в паралельних площинах, і деяким числом паралелограмів. Їх кількість збігається з числом сторін (вершин) багатокутника. Однакові багатокутники називаються підставами призми, а площа їх поверхні - це площа підстав. Паралелограми, що з’єднують дві підстави, утворюють бічну поверхню.

Елементи призми і теорема Ейлера

Оскільки розглянута об’ємна фігура являє собою поліедр, тобто утворена набором пересічних площин, то вона характеризується деякою кількістю вершин, ребер і граней. Всі вони є елементами призми.

В середині XVIII століття швейцарський математик Леонард Ейлер встановив зв’язок між кількістю основних елементів поліедра. Цей зв’язок записується наступній простою формулою:

Число ребер = число вершин + число граней - 2

Для будь-якої призми справедливо це рівність. Наведемо приклад його використання. Припустимо, є правильна чотирикутна призма. Вона зображена на малюнку нижче.

правильна чотирикутна призма

Видно, що число вершин для неї дорівнює 8 (по 4 для кожного чотирикутного підстави). Число сторін, або граней складає 6 (2 підстави і 4 бічних прямокутника). Тоді кількість ребер для неї дорівнюватиме:

Число ребер = 8 + 6 - 2 = 12

Всі їх можна порахувати, якщо звернеться до того ж малюнку. Вісім ребер лежать в основах, а чотири ребра перпендикулярні цих підстав.

Повна класифікація призм

З цією класифікацією важливо розібратися, щоб згодом не плутатися в термінології і використовувати правильні формули для обчислення, наприклад, площі поверхні або обсягу фігур.

Для будь-якої призми довільної форми можна виділити 4 ознаки, які її будуть характеризувати. Перерахуємо їх:

  • За кількістю кутів багатокутника в основі: трикутна, п'ятикутна, восьмикутна і так далі.
  • За типом багатокутника. Він може бути правильним чи неправильним. Наприклад, прямокутний трикутник є неправильним, а рівносторонній - правильним.
  • За типом опуклості багатокутника. Він може бути увігнутим або опуклим. Найчастіше зустрічаються опуклі призми.
  • По кутах між підставами і бічними паралелограма. Якщо всі ці кути рівні 90o, то говорять про прямий призмі, якщо не всі з них є прямими, то таку фігуру називають косокутній.

З усіх цих пунктів хотілося б зупинитися докладніше на останньому. Пряма призма також називається прямокутної. Пов’язано це з тим, що для неї паралелограми є прямокутниками в загальному випадку (в деяких випадках вони можуть бути квадратами).

увігнута пряма п'ятикутна призма

Для прикладу на малюнку вище зображено п’ятикутна увігнута прямокутна, або пряма фігура.

Правильна чотирикутна призма

Підстава цієї призми є правильний чотирикутник, тобто квадрат. Вище на малюнку вже було показано, як виглядає ця призма. Крім двох квадратів, які її обмежують зверху і знизу, вона також включає 4 прямокутника.

розгортка правильної чотирикутної призми

Позначимо сторону підстави правильної чотирикутної призми буквою a, довжину її бічного ребра позначимо літерою c. Ця довжина також є висотою фігури. Тоді площа всієї поверхні цієї призми виразиться формулою:

S = 2 * a2 + 4 * a * c = 2 * a * (a + 2 * c)

Тут перший доданок відображає внесок підстав до загальної площі, другий доданок - це площа бічної поверхні.

З огляду на введені позначення для довжин сторін, запишемо формулу для об’єму даної фігури:

V = a2 * c

Тобто обсяг обчислюється як добуток площі квадратного підстави на довжину бічного ребра.

Фігура куб

Всі знають цю ідеальну об’ємну фігуру, але мало хто замислювався, що вона являє собою правильну чотирикутну призму, сторона якої дорівнює довжині сторони квадратного підстави, тобто c = a.

Для куба формули повної площі поверхні і об’єму візьмуть вигляд:

S = 6 * a2

V = a3

Оскільки куб - це призма, що складається з 6 однакових квадратів, то будь-яку паралельну пару з них можна вважати підставою.

кубічна решітка металів

Куб - це високосімметрічная фігура, яка в природі реалізується у вигляді кристалічних решіток багатьох металевих матеріалів і іонних кристалів. Наприклад, решітки золота, срібла, міді і кухонної солі є кубічними.



ЩЕ ПОЧИТАТИ